求证sinx=x只有一实根

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2019/09/22 05:47:01
求证sinx=x只有一实根求证sinx=x只有一实根求证sinx=x只有一实根1)直接证明.可设函数f(x)=sinx-x,则f''(x)=cosx-1[f''(x)表示求导],因cosx≤1,所以f''(

求证sinx=x只有一实根
求证sinx=x只有一实根

求证sinx=x只有一实根
1)直接证明.
可设函数 f(x)=sinx - x ,则 f'(x)=cosx - 1 [ f'(x) 表示求导],
因 cosx≤1,所以 f'(x)≤0,那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减,其图像与 x轴仅有一个交点,故 方程 sinx - x=0 (即 sinx=x)只有一个实根 x=0.
[注:虽然 f(x) 不是“严格单减”,但其驻点 ---- 即 x=2kπ,k∈Z ---- 都是离散的,所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值,当然也就不可能在 x=0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0.]
(2)反证法.
设方程 sinx - x=0 至少有两个根,且相邻的两根为 x1,x2(不妨设 x1<x2),由于 f(x)=sinx - x 是连续可导函数,那么在 (x1,x2) 内必有一个极值点 x3,因此在区域 (x1,x3) 或 (x3,x2) 必存在“单调递增”区域,这与 f'(x)=cosx - 1≤0 矛盾,所以 方程 sinx - x=0 仅有一个实根 x=0